Ахиллес и черепаха

(0 голоса, среднее 0 из 5)

12 Марта 2012
Физмат - История

Ахиллес и черепаха

Вспоминая о Зеноне Элейском, нельзя не рассказать о самой эффектной из его апорий, в которой быстроногий Ахиллес и медлительная черепаха соревнуются в беге. Ахиллес дает черепахе фору, и забег начинается. Зенон утверждает, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Он рассуждает так: за время, которое понадобится Ахиллесу, чтобы добежать до места старта черепахи, она тоже сдвинется на какое- то расстояние. К тому моменту, когда Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха снова чуть- чуть уйдет вперед. И так до бесконечности.

Затруднение Зенона состоит даже не в том, что сумма бесконечного числа слагаемых оказывается конечной (например, мы знаем, что

1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 = 1,1111... = 10/9).

Можно ли вообще составлять арифметические выражения, содержащие бесконечное число действий? И можно ли говорить о моменте времени, который наступает уже после всех моментов с номерами один, два, три, ..., миллион?.. Сказать, что Ахиллес догонит черепаху в «момент номер бесконечность»? А как занумеровать моменты дальше?

На все Зеноновы «можно ли»? современная математика отвечает примерно так:

«Можно, но только осторожно». Разработана теория бесконечных рядов, вроде того, что описан выше, обоснованно интегрирование — суммирование бесконечного числа непрерывно меняющихся слагаемых. Появилась теория трансфинитов — упорядоченного множества величин, в котором натуральные числа составляют натуральный кусок. И всякий раз математики вынуждены были прибегать к громоздким рассуждениям, чтобы описать все это точно, аккуратно, без логических противоречий.