(0 голоса, среднее 0 из 5)

Путь к интегральному исчислению

Курс математического анализа обычно строится так: сначала идет дифференциальное исчисление, а за ним следует интегральное. Историческое развитие протекало в обратном порядке. В трудах древних центральное место занимали задачи на вычисление площадей (квадратур), объемов (кубатур), центров тяжести. Для дальнейшего развития этого направления требовалось исчисление определенных интегралов. Оно может развиваться самостоятельно, без помощи или взаимодействия с дифференциальным исчислением или неопределенным интегрированием. Главное внимание математиков XVII в. и было направлено на разработку методов вычисления определенных интегралов.

Первым, кто сказал здесь новое слово после древних, был Иоганн Кеплер (1571—1630). Он установил, что планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам (первый закон Кеплера). При проверке второго закона (постоянство секториальной скорости каждой планеты) ему приходилось вычислять площади эллиптических секторов; для решения задач этого типа он разработал новый метод, радикально, как казалось современникам Кеплера, отличающийся от метода геометрического доказательства Архимеда. Воспользовавшись подходящим случаем (проверкой целесообразности формы австрийской винной бочки), Кеплер опубликовал первый, если можно так выразиться, курс определенных интегралов.

Почти одновременно с Кеплером начал работать над задачами определенного интегрирования Бонавентура Кавальери (1598—1647). Стремясь примирить между собой идеальную строгость доказательств Евклида с необходимостью заменить фигуру (или тело) некоторой моделью, он привлек идею неделимых и получил существенные результаты: ему удалось вычислить определенный интеграл от целой положительной степени аргумента. Одновременно с ним и независимо от него вычисляли различные определенные интегралы Пьер Ферма (1601—-1665), Рене Декарт (1596—1650) и др. Ферма заметно продвинул технику составления интегральных сумм. Он же совершал предельные переходы. Ферма, Декарт и Джон Валлис (1616—1703) почти одновременно, около 1638 г., обобщили определенный интеграл от хn на случай n дробного и отрицательного. В 1647 г. Григорий из Сен-Винцента опубликовал «Геометрический труд», в котором предложил довольно сложные кубатуры. Жиль Персонн, известный под фамилией Роберваля (1602—1675), вычислял определенные интегралы примерно так же, как это делал Кавальери, хотя в трактовке понятия бесконечно малой был ближе к Ферма. Он считал, что, например, бесконечно узкая полоска плоской фигуры имеет два измерения, а не одно, как принимал Кавальери. Роберваль получил, между прочим, объем тела, образованного вращением циклоиды вокруг ее основания.

Существенный прогресс в вычислении определенных интегралов связан с именем Блеза Паскаля (1623—1662). Правда, Паскаль не имел обыкновения выражать полученные результаты в виде формул и тем самым не способствовал выработке интегрального исчисления как суммы технических приемов, но его работы по вычислению различных интегралов прояснили связанные с определенным интегралом понятия. Он заменил «совокупности» Кавальери «суммами». Его бесконечно малые очень просты и наглядны по их образованию. Это обычно полоска (в плоской фигуре) или объем (в теле), одно измерение которого взято так, что при дальнейшем разбиении фигуры (тела) это измерение неограниченно приближается к нулю. И, наконец, он внес полную ясность в отношение между данным геометрическим образом (плоской фигурой, телом и др.) и той фигурой (телом), которой данный образ заменен при вычислении. А именно, Паскаль установил, что две величины равны, если разность между ними может быть сделана меньше, чем любая наперед заданная величина, как бы она ни была мала. При таком положении вещей вопрос о переходе к пределу возникал сам собой.

У древних переход к пределу производился неоднократно (площадь круга и т. п.), но определения предела не было. Теперь развитие понятия интегральной суммы непосредственно привело к этому необходимому элементу вычисления. Вполне правильно совершал переход к пределу еще Ферма, но у него процесс перехода не рассматривался как самостоятельный этап вычисления. Переход к пределу в эти годы (середина XVII в.) выполнялся в разных формах — алгебраической и при вычислении определенных интегралов. Отыскание предела в алгебраической задаче имеется у А. Таке (1612—1680). Он получил сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, имея формулу для суммы конечного числа членов и неограниченно увеличивая это число. Переход к пределу при вычислении квадратуры кривой имелся уже у Ферма, как говорилось выше, а в более совершенной форме он выполнялся Валлисом. К 70-м годам XVII в. вычисление квадратур, кубатур, центров тяжести уже давно перестало быть новостью, как считали в начале века, когда появились первые кубатуры Кеплера. Тем не менее, интегрального исчисления не было. Его и не могло быть, так как каждый новый тип задач вызывал новую интегральную сумму с новым пределом. Отыскание этого предела требовало каждый раз изобретения нового приема. Исчисление могло появиться только после установления взаимной обратности операций интегрирования и дифференцирования, что было установлено позже.


Комментарии
Добавить новый Поиск
Оставить комментарий
Имя:
Email:
 
Тема:
UBB-Код:
[b] [i] [u] [url] [quote] [code] [img] 
 
 
:angry::0:confused::cheer:B):evil::silly::dry::lol::kiss::D:pinch:
:(:shock::X:side::):P:unsure::woohoo::huh::whistle:;):s
:!::?::idea::arrow:
 
Пожалуйста, введите проверочный код, который Вы видите на картинке.

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Поиск по сайту

Голосование

Вы бы поддержали сайт новыми материалами за символическую плату?
 

Сейчас в чате



Нет пользователей online



Rambler's Top100