17 Января 2011
Физмат - Интересные задачи с юмором

Задача о книге с ложью... или истиной.

 

Условие.
В одной книге было написано 100 следующих утверждений:
«В этой книге ровно одно неверное утверждение».

«В этой книге ровно два неверных утверждения».

........................................................................
«В этой книге ровно сто неверных утверждений».

Вопрос.
Какое из этих утверждений верное?

 

Решение.

Допустим, что первое утверждение является верным. Значит, среди оставшихся 99 утверждений только одно неверное, а все остальные верные. Но любое из оставшихся утверждений противоречит первому, так как, например, во втором утверждается, что неверных утверждений ровно два, в третьем — ровно три и т. д. Проведя такие же рассуждения до 98-го утверждения включительно, придем к такому же выводу. Если же верно 99-е утверждение, то это значит, что неверных утверждений ровно 99, то есть все, кроме 99-го: 1, 2, ..., 98 и 100. Не может быть верным утверждение 100-е, так как в нем говорится о том, что все 100 утверждений, а значит и само 100-е, неверны. Итак, верным является 99-е утверждение.