21 Марта 2011
Физмат - Интересные задачи с юмором

Актуальная задача без юмора оптимального восстановления зданий Японии после разрушений.

Эта задача актуальна в свете последних трагических событий в Японии и при соответствующем подходе может быть представлена на уроках математики с целью привлечения интереса учеников и популяризации предмета.

Условие.
На месте разрушенного дома, от которого уцелела одна стена, желают построить новый. Длина уцелевшей стены — 12 м. Площадь нового дома должна равняться 112 кв. м. Хозяйственные условия работы таковы: 

1) ремонт погонного метра стены обходится в 25% стоимости кладки новой;

2) разбор погонного метра старой стены и кладка из полученного материала новой стены стоит 50% того, во что обходится постройка погонного метра стены из нового материала.

 

Вопрос.
Как при таких условиях наивыгоднейшим образом использовать уцелевшую стену?

Решение.

Пусть от прежней стены сохраняется x метров, а остальные 12-x метров разбираются, чтобы из полученного материала возвести заново часть стены нового дома (см. рисунок). Если стоимость кладки погонного метра стены из нового материала равна а, то ремонт х метров старой стены будет стоить ax/4; возведение участка длиной 12-х будет стоить a(12-x)/2; прочей части этой стены a[y-(12-x)], т. е. а(у+х-12); третьей стены ax, четвертой ay. Вся работа обойдется в

ax/4+a(12-x)/2+a(y+x-12)+ax+ay=a(7x+8y)/4-6a.

Последнее выражение достигает наименьшей величины тогда же, когда и сумма

7х+8у.

Мы знаем, что площадь дома ху равна 112; следовательно,

7x*8y=56*112.

При постоянном произведении сумма 7x+8y достигает наименьшей величины тогда, когда

7x=8y

откуда

y=7/8x.

Подставив это выражение для y в уравнение

xy=112,

имеем:

(7/8)x²=112, x=√128≈11,3.

А так как длина старой стены 12 м, то подлежит разборке только 0,7 м этой стены.