Задача для проверки интуиции тех, кто уверенно овладел многомерными пространствами.

(0 голоса, среднее 0 из 5)

07 Апреля 2011
Физмат - Интересные задачи с юмором

Задача для проверки интуиции тех, кто уверенно овладел многомерными пространствами.

Условие.
Представим себе k-мерный куб с длиной ребра, равной 2. Этот куб разбит естественным образом на 2^к маленьких кубиков со стороной, равной 1 (поскольку достаточно сложно нарисовать на 2-мерном пространстве k-мерный куб, то изобразим задачу как двумерную – для наглядности :) (см. рис. 1) , т. е. на квадрате).

Рис. 1. К чему стремится радиус гk внутренней сферы?

Рис. 1. К чему стремится радиус г_k внутренней сферы?

В каждый из этих кубиков вписана сфера (естественно, k-мерная сфера единичного радиуса). Существуют две сферы, которые касаются всех этих сфер: одна, большая, касается внутренним образом, другая, меньшая, — внешним. Пусть r_k — радиус меньшей r=lim_k→∞r_k. Избавляя вас от необходимости вычислять этот предел, сразу сообщу, что он перечислен в следующем ряду: -1, 0, 1/2, 1, 10, бесконечность.

Вопрос на интуицию читателя.
Чему же он всё-таки равен? Рекомендуется расставить ответы в порядке правдоподобности, начиная с наименее правдоподобного.

Решение.

Интуиция подводит очень многих. Правильный ответ — бесконечность. Убедиться в этом нетрудно, если рассмотреть диагональ куба. Её длина 2√k стремится к бесконечности. На ней располагаются три окружности: две радиусом 1 и одна радиусом г_k, касающаяся двух предыдущих (см. рис. 2).

Рис. 2. А вот как всё выглядит на диагонали.

А тогда нетрудно понять, чему равен радиус г_k и почему он стремится к бесконечности. Интуиция же не срабатывает потому, что трудно себе представить, как сфера, казалось бы, находящаяся внутри, может выйти за пределы куба.