07 Апреля 2011
Физмат -
Интересные задачи с юмором
Задача для проверки интуиции тех, кто уверенно овладел многомерными пространствами.
Условие.
Представим себе k-мерный куб с длиной ребра, равной 2. Этот куб разбит естественным образом на 2к маленьких кубиков со стороной, равной 1 (поскольку достаточно сложно нарисовать на 2-мерном пространстве k-мерный куб, то изобразим задачу как двумерную – для наглядности :) (см. рис. 1) , т. е. на квадрате).
Рис. 1. К чему стремится радиус гk внутренней сферы?
В каждый из этих кубиков вписана сфера (естественно, k-мерная сфера единичного радиуса). Существуют две сферы, которые касаются всех этих сфер: одна, большая, касается внутренним образом, другая, меньшая, — внешним. Пусть rk — радиус меньшей r=limk→∞rk. Избавляя вас от необходимости вычислять этот предел, сразу сообщу, что он перечислен в следующем ряду: -1, 0, 1/2, 1, 10, бесконечность.
Вопрос на интуицию читателя.
Чему же он всё-таки равен? Рекомендуется расставить ответы в порядке правдоподобности, начиная с наименее правдоподобного.
Решение.
Интуиция подводит очень многих. Правильный ответ — бесконечность. Убедиться в этом нетрудно, если рассмотреть диагональ куба. Её длина 2√k стремится к бесконечности. На ней располагаются три окружности: две радиусом 1 и одна радиусом гk, касающаяся двух предыдущих (см. рис. 2).
Рис. 2. А вот как всё выглядит на диагонали.
А тогда нетрудно понять, чему равен радиус гk и почему он стремится к бесконечности. Интуиция же не срабатывает потому, что трудно себе представить, как сфера, казалось бы, находящаяся внутри, может выйти за пределы куба.
|
- Простая задача о землекопах
- Веселая задача с котом Гаврюшей
- Физика. Ненаглядное пособие (аудиокнига)
- Задача. Сухим из воды
- Космическая задача.
- Интересная задача с газетой
- Простые задачи для 2-4 классов с очень интересной формулировкой. Задачи 281-199.
- Простые задачи для 2-4 классов с очень интересной формулировкой. Задачи 261-280.
- Простые задачи для 2-4 классов с очень интересной формулировкой. Задачи 241-260.
- Простые задачи для 2-4 классов с очень интересной формулировкой. Задачи 221-240.
Комментарии |
|