(0 голоса, среднее 0 из 5)

Математическая игра Ландау

Друзья Льва Давидовича вспоминают, что, путешествуя в автомобиле, он часто предлагал своим спутникам поиграть в номера автомашин. Игру он сам и придумал. В то время в номера автомашин входили две пары цифр. Нужно было так подобрать математические символы, действующие порознь в каждой паре данных цифр, чтобы после их применения левая часть становилась равна правой. Разрешалось вставлять в каждую пару цифр символы только элементарных функций: +, -, :, х, √, log, lg, sin, cos, tg, ctg, sec, cosec, а также факториал (!).

(Напомним, что факториал — знак произведения последовательности натуральных чисел 1 * 2 * 3*…*n = n!).

Например, вас обгоняет автомобиль с номером 71-15. Вы тут же сообщаете спутникам: . Это очень легкий пример. А вот номер посложнее: 53-41. Приравнять его можно с помощью факториала: -(5-3!) =√4-1. Еще пример: 75 - 33; равенство из него: 7 - 5 = log 3 3.

Дифференцировать числа, т. е. константы, стоящие в номере, запрещалось. Это было в те годы действием из высшей математики. К тому же такой способ тривиализовать решение тут же подписал бы смертный приговор самой игре.

Навык находить равенство между парами приходит довольно быстро. И возникает неизбежный вопрос: все ли номера можно «решить»? Такой вопрос задал харьковский профессор М. И. Каганов академику Ландау (Журнал «Паука и жизнь» опубликовал целую серию статей, посвященных истории этой игры и решениям ее трудных частных случаев и поискам общего решения в №№ 1,4, 10 (2000) и №№ 1,6(2001)). И получил ответ: «Нет, не все». «Вы доказали теорему не существования решения?» — спросил Каганов. «Нет, но не все номера у меня получаются, — ответил Ландау. — Например, номер 75-65». Вот еще несколько пар номеров, на которые указывал как на наиболее трудные, если вообще «разрешимые», сам Ландау: 59-58; 47-73; 47-97; 27-37.

Далее М. И. Каганов рассказывает, что он заинтересовал игрой Ландау своих харьковских коллег. И, наконец, математик Юрий Палант вывел формулу универсального решения задачи. Вот она: √(N +1) = sec arctg √N. Суть формулы такова: любое натуральное число можно выразить через число, на единицу меньшее, используя только знаки элементарных функций, не содержащие цифр. Формулу можно применять неоднократно, вплоть до получения равенства. Идея понравилась Ландау, и он даже обсуждал возможность опубликовать ее в научно-популярном журнале. Но вряд ли сам Ландау серьезно занимался теорией и практикой своей игры. Прошло 40 лет, и после первой же широкой публикации с условиями этой игры в журнал «Наука и жизнь» стали приходить письма, предлагавшие самые разнообразные, часто изощренные варианты решений для любых пар номеров.

Учитывая, что секанс это функция «устаревшая», уже лет тридцать, как вышедшая из употребления в средней школе, математик С. Н. Федин так модернизировал указанную формулу Ю. Паланта:

tg arcctg cos arctg √N = √(I+N).

(Для ее вывода необходимо знать, что: 1) tg arctg x = х; 2) 1 / cos2x = tg2x+ 1).

Поиск других общих решений игры Ландау стал самостоятельной математической задачей более высокого уровня сложности, чем решения для определенных частных случаев. Так, автор-составитель нашел следующее общее решение:

sin[(a,b)!]° = sin[(c,d)!]°=0.

Здесь а, b, с, d — любые натуральные числа от 0 до 9 включительно. Любую пару цифр следует рассматривать как число n из двух разрядов, после которого ставится знак факториала. Далее sin(n!)° = 0, если n ≥ 6, так как sin (6!)°= sin 720°= sin 2*360° =0. Дальше любой факториал получается умножением 6! на последующие целые числа: 7! = 6!*7, 8! = 6!*7*8 и т. д., давая кратное число раз по 360° в аргументе синуса, делая его (как, впрочем, и тангенс) равным нулю. В случае, если n ≤ 5 синус не дает нуля слева или справа. Но это ситуация совсем простая. Заинтересовавшиеся читатели легко решат эту задачу самостоятельно (или в крайнем случае посмотрят в журнале «Наука и Жизнь» (2001. № 6) или в книге «Горобец» (2009, С. 105).

Следует отметить, что игра Ландау не только любопытная но и развивающая. Она неизменно встречает повышенный интерес у студентов и абитуриентов. В огромном наборе двух пар цифр можно найти варианты любого уровня сложности, позволяющие преподавателю математики давать примеры, начиная с очень легких и кончая олимпиадным уровнем. Большой набор номеров с решениями повышенной сложности опубликован в журнале «НиЖ» (2001. № 6.), а также в указанной книге, в последней ссылке. И еще одна подсказка. Если у вас нет под рукой случайных чисел, берите две любые пары цифр из телефонных номеров своих знакомых. Не исключено, что кто-то выведет новую формулу универсального решения игры Ландау.



Похожие статьи:
Следующие статьи:
Предыдущие статьи:

Комментарии
Добавить новый Поиск
Оставить комментарий
Имя:
Email:
 
Тема:
UBB-Код:
[b] [i] [u] [url] [quote] [code] [img] 
 
 
:angry::0:confused::cheer:B):evil::silly::dry::lol::kiss::D:pinch:
:(:shock::X:side::):P:unsure::woohoo::huh::whistle:;):s
:!::?::idea::arrow:
 
Пожалуйста, введите проверочный код, который Вы видите на картинке.

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Поиск по сайту

Голосование

Вы бы поддержали сайт новыми материалами за символическую плату?
 

Сейчас в чате



Нет пользователей online



Rambler's Top100