Размен денег

(0 голоса, среднее 0 из 5)

14 Марта 2012
Физмат - Интересные задачи с юмором

Размен денег

В те не столь далекие времена, когда в автобусах, троллейбусах и трамваях стояли кассы, в которые бросали пятаки за проезд, часто можно было видеть пассажира, бросившего в кассу 10, 15 или 20 копеек и собирающего пятаки у новых пассажиров, чтобы получить сдачу. Эта ситуация породила немало математических задач. Вот простейшая. Входят в автобус двое. Ни у одного из них нет пятаков, но имеются монеты в 10, 15 и 20 копеек. Смогут ли они расплатиться за проезд?

По ходу дела хотим напомнить, что в русском языке эти монеты имеют специальные названия: гривенник, пятиалтынный и двугривенный. С гривенником и двугривенным более- менее все понятно, а слово «пятиалтынный» происходит от названия монеты в три копейки — «алтын». Заодно напомним, что две копейки назывались «семишник», а полкопейки — «грош». Правда, к слову сказать, нынешний рубль не стоит и старого гроша.

Но вернемся к задаче. Вы, наверное, уже успели ее решить. Ясно, что один из пассажиров должен положить в кассу гривенник и получить от другого пятак. Но у того нет пятака, однако он теперь имеет дело не с кассой, которая лишь «глотает» монеты, а с человеком, который может дать сдачу. Дав ему 15 или 20 копеек и получив соответственно 10 или 15 копеек сдачи, второй пассажир, как и первый, может со спокойной совестью оторвать билет в кассе.

А если пассажиров трое и ни у одного из них нет пятаков? И здесь выход из положения несложен. Один из пассажиров бросает в кассу 15 копеек, а двое других расплачиваются, как и в предыдущем случае, только 10 копеек они отдают первому, а не бросают в кассу.

Теперь становится ясным, что любое количество пассажиров смогут расплатиться за проезд, не имея пятаков, а располагая лишь монетами в 10 и 15 копеек. Они разбиваются на пары, а если их нечетное число, то образуется одна тройка пассажиров и уплата производится так, как было описано выше.

Каким наименьшим числом 15-копеечных монет можно при этом обойтись в случае п пассажиров? Мы показали, что при четном количестве пассажиров достаточно, чтобы у половины пассажиров нашлось бы хотя по одному пятиалтынному, а для нечетного их числа — (n + 1)/2 пятиалтынных. Покажем, что меньшим количеством не обойтись. Действительно, чтобы заплатить пятак, пассажир должен либо отдать 15 копеек, либо получить 15 копеек. В случае четного числа пассажиров, участвующих в процедуре, число пассажиров, уплативших за проезд пятиалтынным, равно числу пассажиров, получивших такую монету, поэтому число 15-копеечных монет, перешедших из рук в руки, равно n/2. В случае нечетного числа пассажиров в кассу должно попасть нечетное число раз по 5 копеек, поэтому туда должен попасть хотя бы один пятиалтынный. Если теперь считать кассу еще одним пассажиром, которому нужно дать пятиалтынный, то получим (n + 1) пассажиров — четное число, и количество пятиалтынных, перешедших из рук в руки (или в кассу), будет равно (n + 1)/2. Доказательство окончено.

Эту тему можно продолжить, рассматривая, например, случай с монетами достоинством лишь в 15 и 20 копеек. Попробуйте разобраться с ним сами.

Другая задача о размене денег связана с недавно исчезнувшими бумажными купюрами в 3 и 5 рублей. Вопрос к этой задаче таков: «Какие суммы можно уплатить без сдачи купюрами в 3 и 5 рублей?»

Покупку в один и два рубля «трешками» и «пятерками» не оплатишь, а в три, пять и шесть рублей — можно оплатить. Четырехрублевую и семирублевую покупки снова нельзя оплатить, а восьми-, девяти- и десятирублевые покупки можно оплатить этими купюрами, так как 8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 5 +5.

А дальше? Оказывается, что дальше любую сумму денег можно оплатить этими купюрами. Действительно, добавив к полученным трем суммам по «трешке», получим 11, 12 и 13 рублей. Добавив еще по «трешке», получим 14, 15 и 16 рублей и т. д.

Ну а если брать другие купюры? «Пятерками» и «десятками» можно уплатить без сдачи лишь сумму, кратную пяти, вообще если купюры в р рублей и k рублей, и числа р и k имеют общий делитель, отличный от единицы, то ими можно уплатить без сдачи только суммы, кратные этому делителю. Общее утверждение состоит в следующем: «Если имеется неограниченное количество купюр достоинством в р и k рублей, причем числа р и k взаимно просты, то любую сумму, большую pk - р - k рублей, можно уплатить без сдачи этими купюрами».

В случае «трешек» и «пятерок» получаем число pk - р - k = 15-3-5 = 7.

Размен денег — настолько частая операция, что возникают сплошь и рядом нестандартные ситуации, приводящие к интересным математическим задачам.