01 Июня 2010
Физмат - Математика

Одночлен и многочлен.

Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями – умножением и возведением в натуральную степень. Например, 3; a; -10; 5ax²; -5/7y⁴Z³ – одночлены.

Любой одночлен можно привести к стандартному виду, т.е. представить виде произведения числового множителя и степеней различных переменных.

Числовой множитель называют коэффициентом одночлена, а сумму показателей переменных – степенью одночлена. Степень одночлена, представляющего собой число, считается равной нулю.

Одночлены, приведённые к стандартному виду, называются подобными, если они имеют одинаковую буквенную часть. Подобные одночлены можно складывать и вычитать, складывая и вычитая их коэффициенты. Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных членов.

Чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Например, (5xy)·(-2x²y) = 5·(-2)x³y² = -10x³y².

При возведении одночлена в степень используется свойство степени – степень произведения равна произведению степеней, например: (2x²y⁵)³ = 8x⁶y¹⁵.

Многочлен - это сумма одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде и привести подобные слагаемые, то получится многочлен стандартного вида. Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней составляющих его одночленов.

Корнем многочлена Р (х) называют такое значение x₀, при котором значение многочлена равно нулю, т.е. Р(x₀) = 0.

Например, Р(x) = 3x²-2x-5- многочлен стандартного вида, 2-й степени (квадратный трёхчлен), имеет два корня: 5/3;-1, так как Р(5/3) = 0 и Р(-1) = 0.

Многочлен, содержащийся в скобках, перед которыми стоит знак «+», можно записать без скобок, сохранив знаки, стоящие перед его членами. Например, 1+3a+(8b-4kc-5k+x) = 1+3a+8b4kc-5k+x.

Многочлен, содержащийся в скобках, перед которым стоит знак «-», можно записать без скобок, поменяв знак, стоящий перед каждым его членом, на противоположный: 4x-(4a-3bx+4ab-x²) = 4x-4a+3bx-4ab+x².