01 Июня 2010
Физмат - Математика

Действия с многочленами.

Сложение (вычитание) многочленов.

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов.

На практике для нахождения суммы и разности многочленов используют правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс (знак минус).

Пример: (2x+3y)+(-5x+3y-4)=2x+3y-5x+3y-4=-3x+6y-4;
(4x-5y)-(-x-4y)=4x-5y+x+4y=5x-y.

Сумма, разность и произведение двух многочленов также являются многочленами.

Теорема: Степень многочлена Р(х) + Q (x) (или P(x) – Q(x)) не превосходит наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x).

Умножение многочленов.

 

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен и сложить полученные произведения.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена полученные одночлены сложить.

Пример: (-5a)(4-b-a²)=-20a+5ab+5a³;
(2+b)(b²-4)=2b²-8+b³-4b.

Теорема: Пусть P(x) и Q(x) – два отличных от нуля многочлена. Степень многочлена Р(х) · Q(x) равна сумме степеней многочленов P(x) и Q(x), а старший коэффициент произведения равен произведению старших коэффициентов многочленов P(x) и Q(x).

Cвойства степеней многочленов аналогичны соответствующим свойствам для чисел.

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители. Для разложения на множители применяют различные методы: вынесение общего множителя за скобки, метод группировки, формулы сокращённого умножения.

Деление многочленов.

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём многочлен Q(x) отличен от нуля. Если существует такой многочлен R(x), что R(x)·Q(x) = P(x), то говорят, что P(x) делится на Q(x), а многочлен R(x) называют частным от деления P(x) на Q(x).

Многочлены делятся один на другой не всегда, однако имеется более общая операция, называемая делением с остатком, которая является всегда выполнимой и однозначной.