График функции. Ограниченность, монотонность.

(3 голоса, среднее 4.67 из 5)

07 Июля 2010
Физмат - Математика

График функции. Ограниченность, монотонность.

График функции y = f (x) – это множество точек (х;у) координатной плоскости, удовлетворяющих условиям: xD(f), yE(f).

Например, на рис.1 показан график линейной функции y=2x-1.

Рисунок 1

На практике для построения графика функции, заданной формулой, составляют таблицу значений у при некоторых значениях х, наносят на координатную плоскость точки (х;у) и соединяют полученные точки линией, предполагая её плавной.

Однако в чистом виде метод построения по нескольким точкам ненадёжен, поэтому, как правило, для построения графика функции сначала аналитически исследуют её свойства.

Ограниченность функции.

Функция f ( x ) называется ограниченной снизу, если существует такое число а , что для любого значения xD(f) справедливо неравенство f(x)>a (пример на рис.2).

Рисунок 2

Функция f ( x ) называется ограниченной сверху, если существует такое число b , что для любого значения xD(f) справедливо неравенство f(x)<b (см. рис.3).

Рисунок 3

Функция называется ограниченной, если она одновременно является и ограниченной снизу, и ограниченной сверху (рис.4).

Рисунок 4

Монотонность.

Функция называется возрастающей на некотором интервале I D(f), если для любых x1, x2 I, удовлетворяющих неравенству x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2). Пример возрастающей на интервале функции см. на рис.5.

Рисунок 5

Функция называется убывающей на некотором интервале I D(f), если для любых x1, x2 I, удовлетворяющих неравенству x1<x2, выполняется неравенство f(x1)>f(x2).
Пример убывающей на интервале функции см. на рис.6.

Рисунок 6

Если функция является возрастающей или убывающей на интервале I, то она называется монотонной на этом интервале, а I называют интервалом монотонности функции.

Достаточный признак возрастания функции на промежутке: пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на интервале I, и в каждой точке этого интервала f'(x)≥0, то функция возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции на промежутке: пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на интервале I, и в каждой точке этого интервала f'(x)≤0, то функция убывает на I.