28 Декабря 2010
Физмат -
Математика
Экстремум функции. Условия экстремума.
Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если для любого x(x-δ; x+δ), δ>0, выполняется неравенство f(x)≥f(x0). (См. рис.1)
Рисунок 1
Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если для любого x(x-δ; x+δ), δ>0, выполняется неравенство f(x)≤f(x0). (См. рис.2)
Рисунок 2
Значение функции в точке минимума называется минимумом, а в точке максимума - максимумом функции.
Точка x0 называется точкой экстремума функции f(x), если x0 является точкой минимума или точкой максимума f(x). В этом случае f(x0)называется экстремумом функции.
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
На рис.3 точки x1 и x2 - критические (в т. x1 производная равна 0, а в т. x2 не существует).
Рисунок 3
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума): если x0 является точкой экстремума функции f(x) и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю:f’(x0) = 0.
Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти её критические точки, а затем исследовать их с помощью достаточных условий существования экстремума. На практике достаточные условия удобно применять в виде упрощённых формулировок (для функций, непрерывных в точке x0):
Признак максимума функции: если в точке x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума.
Признак минимума функции: если в точке x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума.
|
- Сборник по математике. Элементарная математика в задачах. Справочник старшеклассника.
- Окружность: решение задач повышенной сложности. Видеоурок по математике.
- Решение задач на углы и расстояния между скрещивающимися прямыми. Видеоурок по математике.
- Логарифмы и действия с ними. Видеоурок по математике.
- Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
- Чётность, нечётность, периодичность функции.
- Алгебра и начала анализа 10-11 класс.
- Тригонометрия не для отличников.
- Геометрия не для отличников.
- Основные математические понятия криптографии. Лекция вторая.
Комментарии |
|