Экстремум функции. Условия экстремума.

(1 голос, среднее 1.00 из 5)

28 Декабря 2010
Физмат - Математика

Экстремум функции. Условия экстремума.

Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если для любого x(x-δ; x+δ), δ>0, выполняется неравенство f(x)≥f(x₀). (См. рис.1)

Рисунок 1

Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если для любого x(x-δ; x+δ), δ>0, выполняется неравенство f(x)≤f(x₀). (См. рис.2)

Рисунок 2

Значение функции в точке минимума называется минимумом, а в точке максимума - максимумом функции.

Точка x₀ называется точкой экстремума функции f(x), если x₀ является точкой минимума или точкой максимума f(x). В этом случае f(x₀)называется экстремумом функции.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

На рис.3 точки x₁ и x₂ - критические (в т. x₁ производная равна 0, а в т. x₂ не существует).

Рисунок 3

точки x1 и x2 - критические

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума): если x0 является точкой экстремума функции f(x) и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю:f’(x₀) = 0.

Из теоремы Ферма следует, что при нахождении точек экстремумов функции требуется в первую очередь найти её критические точки, а затем исследовать их с помощью достаточных условий существования экстремума. На практике достаточные условия удобно применять в виде упрощённых формулировок (для функций, непрерывных в точке x₀):

Признак максимума функции: если в точке x₀ производная меняет знак с плюса на минус, то x0 есть точка максимума.

Признак минимума функции: если в точке x₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума.