Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

(0 голоса, среднее 0 из 5)

29 Декабря 2010
Физмат - Математика

Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

Существование наибольшего и наименьшего значений функции следует из теоремы Вейерштрасса, в которой утверждается, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция f(x) принимает на нём наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют точки отрезка [a;b], в которых функция f(x) принимает наибольшее и наименьшее на [a;b] значения.

Если при этом она имеет конечное число критических точек, то найти эти значения можно по следующему алгоритму:

• Найти D(f). Определить f(x) как непрерывную и дифференцируемую на своей области определения и на [a;b] принадлежит D(f).
• Найти критические точки f(x), выбрать те из них, которые принадлежат [a;b].
• Найти значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
• Максимальное из найденных чисел задаёт наибольшее значение функции на отрезке, а минимальное соответственно наименьшее.

Запись результата возможна в виде:

max_[a;b]f(x)=…min_[a;b]f(x)=…

Применительно к решению прикладных задач (нахождение наибольшего или наименьшего значения физической или геометрической величины):

• Задача переводится на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую величину выражают как функцию f(x).
• Реализуется приведённый выше алгоритм поиска наибольшего (наименьшего) значения функции на некотором промежутке.
• Выясняется, какой практический смысл (в терминах исходной задачи) имеет полученный на языке функций результат.

В общем случае этот метод называют методом математического моделирования.