Степень с целым и рациональным показателем.

03 Июня 2010
Физмат - Математика

Степень с целым и рациональным показателем.

Пусть а – действительное число, nN, n≥1, n-ной степенью числа а называют произведение n множителей, каждый из которых равен а , т.е. 

Число a – основание степени, n – показатель степени. Если a≠0 , по определению полагают a⁰=1, a^-n=1/aⁿ, nN.

Справедливы следующие свойства степени с целым показателем:

1. aⁿ·a^k = a^n+k;

2. aⁿ:a^k = a^n-k;

3. (aⁿ)^k = a^nk;

Подробнее...

Формулы сокращённого умножения.

01 Июня 2010
Физмат - Математика

Формулы сокращённого умножения.

К формулам сокращённого умножения относятся следующие основные тождества, применяемые

• I. для приведения целого алгебраического выражения к стандартному виду многочлена;

• II. для разложения многочлена на множители, в частности при упрощении выражений, решении уравнений и неравенств:

•  (a+b)(a-b) = a²-b²;

•  (a+b)² = a²+2ab+b²;

•  (a-b)² = a²-2ab+b²;

Подробнее...

Действия с многочленами.

01 Июня 2010
Физмат - Математика

Действия с многочленами.

Сложение (вычитание) многочленов.

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов.

На практике для нахождения суммы и разности многочленов используют правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс (знак минус).

Пример: (2x+3y)+(-5x+3y-4)=2x+3y-5x+3y-4=-3x+6y-4;
(4x-5y)-(-x-4y)=4x-5y+x+4y=5x-y.

Сумма, разность и произведение двух многочленов также являются многочленами.

Подробнее...

Одночлен и многочлен.

01 Июня 2010
Физмат - Математика

Одночлен и многочлен.

Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями – умножением и возведением в натуральную степень. Например, 3; a; -10; 5ax²; -5/7y⁴Z³ – одночлены.

Любой одночлен можно привести к стандартному виду, т.е. представить виде произведения числового множителя и степеней различных переменных.

Числовой множитель называют коэффициентом одночлена, а сумму показателей переменных – степенью одночлена. Степень одночлена, представляющего собой число, считается равной нулю.

Одночлены, приведённые к стандартному виду, называются подобными, если они имеют одинаковую буквенную часть. Подобные одночлены можно складывать и вычитать, складывая и вычитая их коэффициенты. Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных членов.

Подробнее...

Отношение. Пропорция. Процент.

14 Мая 2010
Физмат - Математика

Отношение. Пропорция. Процент.

Отношением числа x к числу у называется частное чисел x и y, т.е. x/y или х : у.

Отношение показывает, во сколько раз х больше у , или какую часть числа у составляет число х.

Пропорцией называется равенство двух отношений, т.е. a / b = x / y. Числа а и у называются крайними членами, а числа х и b – средними членами пропорции.

Свойства пропорции.

•  (основное): произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т.е. если a / b = x / y, то ay = bx.
•  Обратно, числа a , b , x , y составляют пропорцию a/b = x/y, если ay = bx.
•  Если в пропорции поменять местами крайние, средние члены или те и другие одновременно, то получим верную пропорцию.
•  Чтобы найти неизвестный средний (или крайний) член пропорции , надо произведение крайних (средних) членов разделить на известный средний (крайний) член пропорции: 

Подробнее...

Рациональные и иррациональные числа.

13 Мая 2010
Физмат - Математика

Рациональные и иррациональные числа.

Рациональные числа и обыкновенные дроби.

Рациональными называются числа вида m/n, где mZ, nN.
На множестве Q рациональных чисел выполняются все 4 арифметические действия.

Число m/n, где mZ, nN, называют обыкновенной дробью, при этом m называется числителем дроби, а n её знаменателем.
Среди положительных различают правильные (mn) обыкновенные дроби. Всякую неправильную дробь можно записать в виде суммы натурального числа и правильной дроби или в виде натурального числа. В такой записи не используют знака «+», а число, записанное таким образом, называют смешанным.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Подробнее...

Натуральные и целые числа.

16 Марта 2010
Физмат - Математика

Натуральные числа

Числа 1, 2, 3, …, употребляемые для счёта, называются натуральными (N).

Если число n представимо в виде произведения двух натуральных чисел m и k , то говорят, что число n делится (нацело) на m и на k (и называется кратным им), а каждое из чисел m и k называется делителем числа n .

Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя.

Натуральное число называется составным, если оно имеет хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого себя.

Натуральное число называется чётным, если оно делится на 2, и нечётным, если оно не делится на 2.

Каждое составное число n можно разложить на простые множители, т. е. представить в виде

Подробнее...