09 Июня 2010
Физмат - Информатика

Логические элементы и логические функции.

Логическая функция — это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Логический элемент — это устройство, реализующее ту или иную логическую функцию. Y=f(X1,X2,X3,...,Xn) — логическая функция, она может быть задана таблицей, которая называется таблицей истинности.

X1,X2,X3,...,Xn	Y=f(X1,X2,X3,...,Xn)
Набор значений аргументов X1,X2,X3,...,Xn	Значение функции Y (0 или 1)

 Число строк в таблице — это число возможных наборов значений аргументов. Оно равно 2n, где n — число переменных. Число различных функций n переменных равно 2^{2^n}.

Логические функции одной переменной.

Таблица истинности функции одной переменной Y=f(X) содержит всего 2 строки, а число функций одной переменной равно 4.

 

1. Функция константа 0, Y=0. Техническая реализация этой функции — соединение вывода Y с общей шиной с нулевым потенциалом. Таблица истинности функции константа 0 имеет вид:

X	Y=f(X)
0	0
1	0

2. Функция Y=f(X)=X — функция повторения. Техническая реализация этой функции — соединение между собой выводов X и Y.

Таблица истинности функции повторения имеет вид:

X	Y=f(X)
0	0
1	1

3. Функция Y=f(X)=NOT(X) — отрицание НЕ или инверсия (NOT(X) — это НЕ X). Техническая реализация этой функции - инвертор на любом транзисторе или логическом элементе, или транзисторный ключ.

Таблица истинности функции отрицания имеет вид:

X	Y=f(X)
0	1
1	0

Логический элемент НЕ обозначается на схемах следующим образом:

 пишется X c чертой сверху.

4. Функция константа 1, Y=1. Техническая реализация этой функции — соединение вывода Y с источником питания.

Таблица истинности функции константа 1 имеет вид:

X	Y=f(X)
0	1
1	1

Важнейшей функцией одной переменной является отрицание НЕ, остальные функции являются тривиальными.

Логические функции двух переменных.

Таблица истинности функции двух переменных Y=f(X1,Х2) содержит 4 строки, а число функций двух переменных равно 16.

Рассмотрим только несколько основных функций двух переменных.

1. Логическое ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция):
Y= X1 + X2 = X1VX2

Техническая реализация этой функции — два параллельно соединенных ключа:

 

Таблица истинности логического ИЛИ имеет вид:

X1	X2	Y=X1+X2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Логический элемент ИЛИ обозначается на схемах следующим образом:

2. Логическое И (логическое умножение, конъюнкция, схема совпадений): Y = X1X2 = X1&X2
Техническая реализация этой функции — два последовательно соединенных ключа:

Таблица истинности логического И имеет вид:

X1	X2	Y=X1·X2
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Логический элемент И обозначается на схемах следующим образом:

3. Функция стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ): Y = NOT(X1+X2)

Таблица истинности функции ИЛИ-НЕ имеет вид:

X1	X2	Y=	X1+X2
0	0		1
0	1		0
1	0		0
1	1		0

Логический элемент ИЛИ-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

4. Функция штрих Шеффера (И-НЕ): Y = X1|X2 = NOT(X1X2)

Таблица истинности функции И-НЕ имеет вид:

X1	X2	Y=	X1·X2
0	0		1
0	1		1
1	0		1
1	1		0

Логический элемент И-НЕ обозначается на схемах следующим образом:

Есть ещё три логические функции двух переменных, имеющие специальные названия: импликация, эквивалентность, неравнозначность (исключающее ИЛИ, сложение по модулю 2). Последние две функции являются взаимно обратными, также как, например, функция И и функция штрих Шеффера.