(0 голоса, среднее 0 из 5)

Задача. Назовем натуральное число n забавным, если n2 + 1 делится на 101. Докажите, что среди чисел от 1 до 100 четное количество забавных.

Решение. Разобьем числа на пары следующим образом: в первую пару включим числа 1 и 100, во вторую — числа 2 и 99, ..., в i-ю — числа i и 101-i ..., в 50-ю — числа 50 и 51. Покажем, что в каждой паре либо оба числа забавные, либо оба незабавные. Это равносильно тому, что числа к2 + 1 и (101 - k)2 + 1 одновременно делятся или одновременно не делятся на 101. Заметим, что (101 - k)2 + 1 = (-k)2 +1 = k2 + 1 (mod 101). А это и означает, что k2 + 1 и (101 - k)2 + 1 имеют одинаковые остатки при делении на 101. Таким образом, количество забавных чисел равно удвоенному количеству пар с забавными числами, т. е. числу четному.



Похожие статьи:
Следующие статьи:
Предыдущие статьи:

Комментарии
Добавить новый Поиск
Оставить комментарий
Имя:
Email:
 
Тема:
UBB-Код:
[b] [i] [u] [url] [quote] [code] [img] 
 
 
:angry::0:confused::cheer:B):evil::silly::dry::lol::kiss::D:pinch:
:(:shock::X:side::):P:unsure::woohoo::huh::whistle:;):s
:!::?::idea::arrow:
 
Пожалуйста, введите проверочный код, который Вы видите на картинке.

3.26 Copyright (C) 2008 Compojoom.com / Copyright (C) 2007 Alain Georgette / Copyright (C) 2006 Frantisek Hliva. All rights reserved."

Поиск по сайту

Голосование

Вы бы поддержали сайт новыми материалами за символическую плату?
 

Сейчас в чате



Нет пользователей online



Rambler's Top100